快足亀のパラドックス  オリジナル版の ゼノン(前490～前430頃・古代ギリシアの自然哲学者)の 「アキレスと亀」には 「亀はアキレスより遅い」とだけ書かれているので その条件の範囲であれば 「アキレスと亀」の解釈として問題はないということになります wikiペディアのゼノンのパラドックスの中には ≪追付かない事例は、亀がアキレスより遅い事を維持しつつ 両者の速度差が急速に縮まる設定にすれば 亀に追いつくまでのゼノン式捉え方での時間の 積算が発散する事例を作ることが出来る この事例は、古代ギリシア時代の数学では困難であったかも知れない≫ とあります この「追付かない事例」 つまり「運動完遂が実際に不可能な事例」 について ネットで調べてみたのですが 具体的に書いているサイトがみあたりませんでした そこで、知り合いのアルゴリズムの教授に 「追いつけない」具体的な話を考えてもらいました 【 アルゴリズムとは、コンピューター(計算機)で、問題を解く手法のこと その「やり方」を工夫して、より良いやり方を見つけよう というのが、アルゴリズムの研究 だとされます 例えば、乗換検索のアプリなんかで出発駅と目的駅を入れたら 経路がいくつか出てきますが こういうものを求めるときに どうやったら短い時間で求められるか？ を考えるのがアルゴリズム屋さん だそうです 】 ちなみに、一般の「アキレスと亀」(ゼノンのアキレスと亀)が なぜ、アキレスが亀に追いつけるかというと 追いつくまでの時間、例えば２秒後、２ｍまでの 時間と距離を、無限に刻んでいるにすぎず ２秒たてば、アキレスは追いつけるということです 「ゼノンのアキレスと亀」を書いておきますと アキレス(ギリシア神話に登場する英雄) と亀が競争しました アキレスにはハンデを負わせ 亀のスタートするＡ地点より 後ろのＢ地点からスタートさせます １人と１匹は同時にスタートします アキレスの速度を亀の２倍とします ＡからＢの距離を１とします するとアキレスがＡに到着したときには 亀はそこから１/２進んでいる 次にアキレスが亀のいた１/２地点に到着すると 亀はアキレスより１/４進んでいる アキレスが１/４地点に着くと、亀はそこから１/８先にいる‥‥ こうしてアキレスは永遠に亀に追いつくことができない といったものです じつは、亀が与えられたハンデの距離が１で アキレスの速度が亀の２倍だから 亀が１進んだらアキレスは追いつくことができます ですが、亀の進む距離が １/２＋１/４＋１/８＋１/１６＋１/３２＋１/６４＋１/１２８‥‥で この計算方式だと１になることはないのです 【 亀の進む距離… １/2(2/4)+1/4＝3/4 3/4(6/8)+1/8＝7/8 7/8(14/16)+1/16＝15/16 15/16(30/32)+1/32＝31/32 31/32(62/64)+1/64＝63/64 63/64(126/128)+1/128＝127/128 127/128(254/256)+1/256＝255/256 】 これを時間で、説明すると アキレスが秒速1ｍ・亀が秒速0.1ｍ アキレスはＡ地点から、亀はＢ地点からスタートします スタートから1.9秒後 アキレスは1.9m地点(Ｂ) 亀は1.99m地点(Ｃ)にいる スタートから1.99秒後 アキレスは1.99m地点(Ｃ) 亀は1.999m地点(Ｄ)にいる スタートから1.999秒後 アキレスは1.999m地点(Ｄ) 亀は1.9999m地点(Ｅ)にいる ということになり アキレスが、亀に追いつこうとする行為は 1.999999‥‥秒後と 無限に繰り返すことができます しかし、本質的には、スタートから２秒後には アキレスは、亀に追いくことができます 数学においては、この事実をもって 「アキレスと亀」は 「無限の回数を繰り返せる」ことと 「無限の時間かけても追いつかない」こととを 混同するところから生まれているパラドックスである 「回数の無限」と 「時間や距離の無限」とを 混同するところから生まれているパラドックスである という反証がなされるわけです これに対して wikiペディアの「追いつけない事例」が ここに記す 知り合いのアルゴリズムの教授に つくってもらった話です 難しい計算式がいっぱい書いてありましたが 最低限必要なもの以外 全部とっぱらって 誰が読んでも分るように 必要な説明を入れて、手直ししたものです トップクラスのマラソンランナー張りに走る亀 題して「快足亀のパラドックス」 構成は アキレスが 亀いる地点(Ａ)に到着したとき 亀は次の地点(Ｂ)にいっている アキレスがそこ(Ｂ)に着くと 亀が次の地点(Ｃ)にいっている アキレスがそこ(Ｃ)に着くと 亀が次の地点(Ｄ)にいっている というゼノンのパラドックスと一緒です 前提① アキレスの秒速は5ｍ 亀の秒速は2.5ｍでスタートする 亀は、アキレスより100ｍ先(Ａ地点)からスタートします 前提② アキレスが100ｍ(a1)進みＡ地点にくると 亀は100/2＝50ｍ(a2)進んでＢ地点にいる アキレスが100/2＝50ｍ(a2)進みＢ地点にくると 亀は100/3＝33.3...ｍ(a3)進んでＣ地点にいる アキレスが100/3＝33.3...ｍ(a3)進みＣ地点にくると 亀は100/4＝25ｍ(a4)進んでＤ地点にいる アキレスが100/4＝25ｍ(a4)進みＤ地点にくると 亀は 100/5＝20ｍ(a5)進んでＥ地点にいる これを繰り返していきます ゼノンの「アキレスと亀のパラドックス」の場合 亀の進む距離が、アキレスのそれに対して １/2(a1) 1/4(a1) 1/8(a2) 1/16(a3) 1/32(a4)... となっていきますが a1＋a2＋a3＋a4... ＝具体的な数字 なので、アキレスは亀に追いつけます ≪アキレスが、亀に追いつけないように 追いつくまでの時間を細かく＝無限に刻んでいるだけ≫ だからです しかし「快足亀のパラドックス」の場合 アキレスが亀に追いついたと仮定すると このとき、アキレスが走った距離は a1＋a2＋a3＋a4...＝∞ となるのですが 合計が、∞ということは 永遠に追いつけないことになります じつは「快足亀のパラドックス」では アキレスの秒速は５ｍのままなのに 亀の速度は、アキレス速度の a2(亀の走った距離)/a1(アキレスの走った距離)＝1/2倍から a3/a2＝3/2倍 a4/a3＝4/3倍...と、速くなっていき 限りなく秒速５ｍに近づいていっているのです 「アキレスと亀のパラドックス」の場合だと アキレスが50ｍ(a2)進みＢ地点にくると 亀は50/2＝25(a3)進んでＣ地点にくる という設定なのに対し 「快足亀のパラドックス」の場合 アキレスが50ｍ(a2)進みＢ地点にくると 亀は100/3＝33.33...ｍ(a3)進んでＣ地点にくる ＝亀は加速している という設定にしているわけです すなわち、オリジナル版の アキレスと亀のパラドックスの条件は 「亀はアキレスより遅い」というだけなので 亀の速度が、アキレスの速度を超えない範囲内であれば 亀が加速されていても、何も問題ないのです 教授によると 「快足亀のパラドックス」を成立させる 数列 a1、 a2、 a3 ...の条件としては ・a(1)>a(2)>a(3)>... 亀の方がつねに遅いことを表す ・a(1)+a(2)+a(3)+...=∞ アキレスが永遠に追いつけないことを表す この２つを満たせばいいだけなので a1＝100/1、a2＝100/2、a3＝100/4... a(n)＝100/n である必然性はない 上記の２条件を満たす例の一つにすぎない ということでした この「快足亀のパラドックス」は 亀が加速しているとはいえ アキレスの速度を超えることはないのです 亀がアキレスに追いつかれないよう 必死にがんばって、加速していく でも、アキレスの速度には追いつけない ならばいつかアキレスに 追いつかれてしまうはずですよね にもかかわらずアキレスは 永遠に亀に追いつくことはできない 不思議だと思いませんか！！ 教授に聞くと 比喩的に表現するならば マラソンで２位のランナー(アキレス)に 追いかけられているけど 何とか１位でゴールするマラソンランナー それが亀 マラソンの場合は 明確にゴールがあるから分かりやすいけれど アキレスと亀にはゴールがない だからいずれ追いつくように思えますが 本質的にはマラソンと変わらないという話です 「快足亀のパラドックス」の場合 ゴールがない代わりに 「時間は有限」という制約があります 無限の時間が 存在するならば アキレスは亀に追いつきます 例えば、1億年だって1兆年だって 人間にとっては無限のような時間でさえも有限で どれだけ長い時間に設定されたゴールに対してでも 亀がアキレスに抜かれないように 懸命に速度を上げているのが実態です 亀さんは アキレスに追いつかれるにつれて 速度をアキレスの速度に (抜かない程度に) 近づけていく必要があります 実際、亀の速度は、次のように捉えることができます (アキレスの速度を秒速50ｍとする) 最初(アキレスとの差が100ｍ)の 亀の速度は、秒速50×1/2＝25ｍ アキレスとの差が、100/2＝50ｍになったら 亀は速度を、秒速50×2/3=33.33...ｍに上げる アキレスとの差が、100/3＝33.33...ｍになったら 亀は速度を、秒速50×3/4=37.5ｍに上げる アキレスとの差が、100/4＝25ｍになったら 亀は速度を、秒速50×4/5=40ｍに上げる アキレスとの差が、100/5＝20ｍになったら 亀は速度を、秒速50×5/6=41.66...ｍに上げる (無限に繰り返す) ちなみに アキレスとの差が、100/100＝1ｍのときには 亀は速度を、秒速50×100/101≒49.5mに上げます (≒は、ほぼ等しい) アキレスとの差が、100/1000=0.1m＝10cmのときには 亀は速度を、秒速50×1000/1001≒49.95ｍに上げます アキレスとの差が、1cmのときには 亀の速度は、秒速49.995mほどになります 亀の速度、アキレスと殆ど変わらんやん！って話です そんだけ速く走れるなら 最初から秒速49.995mで走ればいいじゃん！ って思うかもしれませんが この速度であっても 速度が上げられなければ、いずれ追いつかれます (100/(50-49.995)=20000秒後かな？) だから亀は、秒速50mを上回らない範囲で 速度を上げ続けることが重要なのです 亀さんはこうやって 速度を上げることで時間稼ぎをして 有限に設定されている 時間のゴールに飛び込んでいます 「快足亀のパラドックス」には 「時間は有限」という制約があるというのは？ あくまで ｢無限の時間が存在するならば｣です このパラドックスでは a(1)+a(2)+a(3)+...＝∞ が アキレスが亀に追いつけないことを表しています a(n)が、アキレスと亀の距離の差で nは、アキレスが亀に追いつこうとする回数です なので、n＝∞のとき、a(n)＝0 という条件を満たすときの a(1)+a(2)+a(3)+...の時間 すなわち、無限の時間で アキレスは亀に追いつくことになります 具体的には アキレスが亀に追いつくまでの時間は (a(1)+a(2)+a(3)+...a(∞))÷アキレスの速度 となります 理論上でも、無限の時間で追いつくということは アキレスが亀に追いつけないのは有限の時間のことに限る 「快足亀のパラドックス」には 「時間は有限」という制約があるということになります ついでに、教授に ゼノンの「飛ぶ矢」のパラドックス についての考えを尋ねると、以下の解答をいただけました 「飛ぶ矢」のパラドックス (飛ぶ矢は動かず) 【 飛んでいる矢も その一瞬一瞬を考えれば止まっている 瞬間とは点であって延長を持たないから ある瞬間における矢は動いていない 瞬間をいくら足していっても 矢は動いていないはずである 】 無限に積み重ねるとは 有限個 積み重ねるのとは違うのです ０を１京個足しても０は０だけど ０を無限に足したら０とは限らないということです 飛ぶ矢のパラドックスでも同じで 動きが０の瞬間を１京個集めても 動きは０のままだけど 現実の時間は 瞬間＝０を、無限に集めたものなので 動きが０のままとは限らない それが有限と無限の違いということになります ０＋０＋０＋０＋０＋・・・(１京個)＝０ ０＋０＋０＋０＋０＋・・・(無限個)＝∞ ということですか？ 違います ０＋０＋０＋０＋０＋・・・(無限個)は ０かもしれないし 何らかの数字かもしれないし ∞かもしれないということです 何でも出てきます ケースバイケースです ０＋０＋…(無限)＝０ はいい例がないですが 不思議に感じないと思うので 例が必要ではないかと思います それ以外の例だと 数直線がいいかと思います 数直線を思い浮かべてください ０～１までの長さは１です ０～１の間には無限に数字がありますが それぞれを表す数直線上の点は長さ０です ０も、０.５も、１も、その数字を表す点の長さは０です 何故かというと もし各点の長さが 正(例えば、0.00000000001)ならば 0.00000000001×∞＝∞ となってしまうからです ということは 数直線上の０と１の間にある点の長さを足し合わせると ０＋０＋…(無限)＝１ です ０～２までであれば、同じ議論で ０＋０＋…(無限)＝２ になります それどころか 数直線全体は、無限の長さを持っているので ０+０＋…(無限)＝∞ という結論さえ出てきます この議論で０だけ出てこないのは ０～０の間には、点が１個(０という数字を表す点)しかないからです ＃ どれだけ小さい正の数字(実数)であっても ０とその数の間には無限に数字が存在します 実数の不思議な性質です 1/3×3 = 1 のはずなのに 0.3333…×3 = 0.9999… のパラドックス  パラドックスとモンティ・ホール問題 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