ヒルベルトの 「無限ホテルの パラドックス」を考察する  まえおき 物理学と数学の「正しい」の違いについて 知り合いの国立大学のアルゴリズム＆人工知能の教授に 聞いたときの教授のお話です 【 物理学というのは仮説立てて、それによる帰結を導き (ここまでは数学の話) 帰結が実際に観測されるかを確かめて、確認されたら採用されます 数学的に書くと、p が仮説 q1, q2, ..., qn が帰結だとすると p ならば q1, p ならば q2 ..., p ならば qn が、全て数学的に証明されていて さらに、q1, q2, ..., qn が 全て実験的に観測された状況になれば p が正しいとして採用されます ＃一般に n が小さいときには、p は仮説として保留されます ぶっちゃけた言い方をすると 状況証拠を積み重ねて正しさを示します 但し、p が厳密に正しいと証明されたわけではありません 正しいと信じるに値する という言い方が正しいと思います このような証明の仕方を「帰納証明」と言いますが 自然科学における正しさは、全て帰納証明に基づいています ですから、自然科学において「絶対に正しい」という言葉は嘘です 状況証拠でしかない以上、絶対的な正しさは証明できないのです これが自然科学の限界とも言えます 昔、「原子力発電所は絶対に安全」と言っていた人は 完全に詐欺師です 帰納証明に絶対はありません 】 これに対し 【 数学というのは、自然科学(物理学、化学、天文学など) とは違い、数学自身が研究対象の学問です それゆえ証明された数式は 査読(専門家による検証)ミスがない限りは 数学上では、絶対に「正しい」のです 数学の証明は 演繹(えんえき)法の代表である 「三段論法」を繰り返えすことによりなされます 三段論法とは 前提条件 Ａ＝Ｂ Ｂ＝Ｃ → 結論 Ａ＝Ｃ です 演繹法は、Ａ＝Ｂ Ｂ＝Ｃ という法則(公理)から Ａ＝Ｃ という新たな法則を、導き出していくわけです 演繹法は、前提条件が正しければ 導き出される結論も必ず正しくなります これは、演繹法は 前提条件 Ａ＝Ｂ Ｂ＝Ｃ を Ａ＝Ｃ に、言い換えているだけだからです 】 この「無限ホテルのパラドックス」は 数学的に「正しい」とされています ① 満室だけど宿泊可能？ 本題に入ります このパラドックスは 現代数学の父と称される ヒルベルト(1862～1943・ドイツの数学者)が考案したことから 正式には「ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス」 といいます ≪無限≫の概念を理解させるために作ったパラドックスらしいです 99％の人が理解不能なパラドックスなんだそうです いきなり文章では辛いかもなので https://www.youtube.com/watch?v=jqLQXxJc428 ダークぱんだ さんの【ゆっくり解説チャンネル】 に、とても分かりやすい説明があります このホテルは 前提① ： 満室である 前提② ： 客室が無限にある そこへ１人の客が「宿泊したい」とやってきます 客室が有限なふつうのホテルなら 「満室である」 = 「新たに来た客を泊めることはできない」です ところが、無限ホテルでは 客室が無限なので １号室 → ２号室 ２号室 → ３号室 ３号室 → ４号室 ４号室 → ５号室 というように 宿泊しているお客に１つずつズレてもらって 最初の部屋を空けることで 新たに来た客を泊めることはできる 30人の団体がきたならば １号室 → 31号室 ２号室 → 32号室 ３号室 → 33号室 ４号室 → 34号室 に移動してもらえばいい といった話です 満室なのに、新たな客を泊めることができる → 人の直感に反する = パラドックス ということです では、無限の数の団体が来たならどうでしょうか？ 自然数は、１、２、３、４、５・・・・と、無限個あります 奇数は、１、３、５、７、９・・・・と、無限個あります 自然数と奇数はどちらが多いでしょうか？ 有限なグループで考えれば もちろん自然数の方が、奇数よりも２倍多いですが 無限なグループで考えれば、数は一緒です 実数の場合、０と１の間を埋めるのに 100等分、1000等分、10000等分・・・・ とどこまでも間隔を狭めることができます これに対して、整数の場合、間を埋めることができません これが、実数の連続性であり 整数の離散性(とびひびの値を示す性格)です そして、自然数も、奇数も とびとびの間隔＝濃度 が一緒なのです 濃度が一緒ということは １つ１つの数字が「一対一対応」である ということです なので、無限なグループで考えれば 自然数も、奇数も、数は一緒なのです 自然数の持つ濃度のことを「アレフ０」といいます なお、≪無限個なら、どんな無限個も同じである≫ この従来の数学者の考えに対し 集合論を確立した カントール(1845～1918・ドイツで活躍した数学者)は 「そうではない 無限にも濃度がある」と主張しました 要するに、無限にもレベルというかランクがある といった考えです アレフは、無限集合の濃度（あるいは大きさ）を示す単位です では、実数の無限集合は、アレフ１なのでしょうか？ じつは、自然数の濃度(アレフ０)と 実数の濃度の間にも、中間の濃度があるのではないか？ という議論があり、確定されていないのです また、自然数の濃度のことを指して「可算濃度」といい その無限のことを「可算無限」といいます 「可算」というのは１つ、２つ、３つ・・・・という具合に 番号づけして数えられるという意味です 無限の数の団体が来たと言っても １人、２人、３人・・・・ と数えることのできる自然数の濃度をもつ加算無限です 前述したとおり、無限で考えたとき 自然数の濃度と、奇数また偶数の濃度は一緒で 自然数と、奇数の数も一緒です なので 無限の数の団体客がきたら 全ての宿泊客に、部屋番号×２の部屋に移ってもらえばよい １号室 → ２号室 ２号室 → ４号室 ３号室 → ６号室 ４号室 → ８号室 ということになります こうして、奇数の数の無限個の部屋を空ければ 自然数の無限の客を泊めることができる ということです まず、【満室】とは ≪部屋の数とお客の数が一緒≫ という以外にはありません なので、最初の段階で【満室】を成立させるには お客の数も無限である という前提が成り立ちます この段階では【満室】なので 新たな宿泊客は、止めることはできません ところが【満室】から 客が１人来ようとようと、無限の数 来ようと ≪無限ホテル≫においては 無限に客室があるのだから、泊めることができる という理屈なのです これは、単に ≪無限≫という概念を主張しているだけなので 正しいも、間違えもありません しかし、ならば 最初の段階で【満室】であるという前提が おかしいです 客が、無限の数 来ようと 無限に客室があるのだから、泊めることができる というなら 最初の段階で【満室】であるという前提は成立しません つまり ① 最初の段階で【満室】であるという前提は 無限の客室は、無限の客で【満室】になる ということです 客の無限 = 客室の無限 というのが、≪無限≫についての定義です これに対し ② 客が、無限の数 来ようと 無限に客室があるのだから、泊めることができる というのは 客の無限 ≠ 客室の無限 というのが、≪無限≫についての定義です 両者において、定義が違う つまり、このパラドックスはパラドックスではなく 単にデタラメです ちなみに 無限の数の団体客がきたら 奇数の数の無限個の部屋を空ければよい というのはこういうことです ≪自然数で無限個の客室を 奇数で無限個の客室と、偶数で無限個の客室に分けました ３つの無限の「数」は一緒です≫ 有限の世界ならば 自然数は、奇数、偶数に対して、それぞれ２倍多いです 無限の世界においては 自然数の無限個を 奇数の無限個と、偶数の無限個に 半分ずつ分けたのにもかかわらず どの無限も濃度は一緒なので、数は一緒 ということです この考え = ②の考え からいくと 無限の客室は、限りなく存在するので たとえ無限の客が来ても、宿泊可能である ということになります なので決して【満室】にならないはずです ①の≪無限≫の定義からいくと 自然数の無限個の部屋は、全て埋まっているわけですから 奇数の無限個と、偶数の無限個に分けて 部屋の数が倍になったたところで、全ての部屋は埋まっているでしょ という話になりますよ(笑) つまり、≪無限≫といったって 定義によってどうにでもなる概念なので 〔 「概念」とは共通認識なので むしろ「観念」(概念より主観を含む)と言った方がよいかもです 〕 定義 (数学的に言うと「公理」？) をちゃんしてから 論ずるべきなのに ≪無限ホテルのパラドックス≫は 「定義」が曖昧というかデタラメなのです 話を戻します ②の考えからいくと 無限の客室は、限りなく存在するので たとえ無限の客が来ても、宿泊可能である ということになります しかし、【満室】なわけですから 最初から存在する部屋に (部屋を増やさずに) どうやって新しい客を入れるのですか？ ということになります → 人の直感に反する = パラドックス そうなると ホントは、部屋を増やしていて それを、≪無限≫という言葉で騙して 【もともとあった部屋】に錯覚させているのではないのか？ という疑問が、当然、湧いてきますよね では、なにをもって 部屋を増やす操作をしているのにもかかわらず (操作をしなければ、空き室がないので 新たな客を泊めることはできない) ≪もともと空き室が存在していた≫ と思い込ませているのでしょうか？ これについては ∞ + 1 = ∞ という理屈が考えられます つまり、無限の部屋数は + 1 した ( = １つ部屋を増やした) ところで、無限の部屋数のままで、変化しない だから、もともと存在した部屋 である ( = 部屋を増やしていない) といっためちゃくちゃな論理です めちゃくちゃといっても 【満室】だけど、無限ホテルだから【 空き室】はいくらでもある という話と大差ないですよ(笑) むしろマシなくらいです この論理からいくと ≪無限ホテル≫は、【無限に部屋があるホテル】ではなく ホントは、【部屋を増やす操作によって 後出しじゃんけんのように、限りなく (無限に) 新な部屋をつくることができるホテル】が正体ということになります それはともかく、単純に考えると このパラドックスは 有限世界においてどのような状況 (満室) にあろうと 無限は、有限とは別の原理のものである (もともと空き室がある) といった主張なのではないでしょうか？ ところが、≪無限ホテル≫という無限世界において 【満室】である(有限) という間違えをしてしまった ということだと思います ② 数学的に「正しい」のは？ 知り合いの国立大学のアルゴリズムの教授に ≪無限ホテルのパラドックス≫を説明してもらいました 教授： ≪無限ホテルのパラドックス≫で 説明していることはすべて正しいです 緋山： それはどうしてなのですか？ 教授： ≪無限ホテルのパラドックス≫で 説明していることを数学的に書くと ・ N = 自然数の集合 (1, 2, 3, ...) ・ X = 0以上の整数の集合 (0, 1, 2, 3, ...) 0 (新たに来た客)を加えた集合です ・ Y = -29以上の整数の集合 (-29, -28, -27, ...) N に -29 ～ 0 の30個の要素(30人の客)を加えています ・Z = 整数の集合(..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) とおくと N⊂X⊂Y⊂Z であるが |N|=|X|=|Y|=|Z| が成り立つことを言っています ここで、N⊂X は N が X の真部分集合 ( N ≠ X である部分集合)であることを表しています また、|N| は N の濃度(有限の集合の場合は要素の個数) を表しています N, X, Y, Z が全て有限集合である場合には このことは成立しません 要するに ≪無限ホテルのパラドックス≫は 自然数の集合、0以上の整数の集合 -30 以上の整数の集合 偶数の集合、奇数の集合は 全て濃度がアレフ・ゼロだと言っているに過ぎません アレフ・ゼロについても説明しましょう 例えば、X = { リンゴ、ミカン、ブドウ } で Y = { イヌ、ネコ、ネズミ } とおき f (リンゴ) = ネコ f (ミカン) = イヌ f (ブドウ) = ネズミ とおくと、f は一対一対応となります X から Y への一対一対応があるとき X の要素数と Y の要素数が等しいと定義します 次に、X を リンゴ、ミカン、ブドウではなく X = { 1, 2, 3 } とおいてみます 同じように、X から Y への一対一対応が存在します このとき、Y の要素数(濃度)を 3 と定義します 一般に、集合 Y に対して X = { 1, 2, ..., n } とおいたときに X から Y への一対一対応が存在するとき |Y| = n と定義します このように、n が定められるとき Y を有限集合と呼びます 一方、このような n が定められない集合 Y を 無限集合と呼びます N を(全ての)自然数の集合とします N の濃度は自然数で表現することができないので アレフ・ゼロと定義しています (アレフは無限を表す一種の記号) N から集合 Y への一対一対応が存在するとき Y の濃度もアレフ・ゼロと定義します 緋山： ① 最初の段階で【満室】であるという前提は 無限の客室は、無限の客で【満室】になる 客の無限 = 客室の無限 ② 客が、無限の数 来ようと 無限に客室があるのだから、泊めることができる 客の無限 ≠ 客室の無限 ②の考えからいくと 無限の客室は、限りなく存在するので たとえ無限の客が来ても、宿泊可能である 決して【満室】にならない ということになりませんか？ 教授： まず、≪無限ホテルのパラドックス≫は 【満室であるのにお客が泊められる】というパラドックスではなく 【無限に部屋がある】ことが 「有限」の世界では成立しないので 一般の人間には違和感を生じる それがこのパラドックスの正体です 緋山さんの考えは まだ、有限のときの常識に頭が引きずられていると思います その原因は ≪無限は数ではない≫ という認識が浅いことが原因だと思います アレフ０の「無限」というのは どんな数を持ってきても、それより大きい数が存在する 有限に抑えることができない という意味での無限です (アレフ０の集合を対象とする数学を、離散数学という 簡単にいうと、整数をメインとして扱う数学のこと) そもそも無限という数はないのです 「終わりがない」ことをそう呼んでいると考えた方が近いです そこを理解して これからする私の数学的な説明を聞ければ 「なんだそんなことか」というのが分かると思います 無限にいる人に1番から番号をつけます 無限にある部屋に1番から番号をつけます i 番の人に i 番の部屋を利用してもらいます ( i = 1, 2, .. .) これが最初の状況です この時点で空いている部屋はないのです = 満室 (あるならば何番目の部屋か指摘できるはずです) あとから無限の人がバスでやって来ました 彼らも1番から番号をつけます 宿泊している i 番の人は 2i 番の部屋に入ってもらいます バスで来た i 番の人は 2i - 1 番の部屋に入ってもらいます 全員が別々の部屋に入り、全ての部屋に人がいるので満室です 無限は数では無いので、a + a = a みたいな変なことが起こります ( aは自然数の濃度を表していると思って下さい ) 有限である10番の部屋だけで見てみると 最初は10番の人が入っていたのに 入れ替えたときには 5番の人が入っているので 5人を追い出した形になっているのですが (番号的に) 後ろにいくらでも部屋があるので 吸収できるという訳です 緋山： なるほど・・・ そんな発想があったとは・・・・ これは、恐れ入り谷の鬼子母神 (恐れ入りました) です ≪無限ホテル≫とは １人の客のときも満室、30人の客のときも満室 無限の客のときも満室 つねに満室の状況にある イメージでいうと 【際限なく伸びることのできるホテル】ということですね！！ 一般に正解かと思われている ② 無限の客室は、限りなく存在するので たとえ無限の客が来ても、宿泊可能である = 満室にならない よりも むしろ ① 最初の段階で【満室】であるという前提は 無限の客室は、無限の客で【満室】になる → つねに満室になる が正解だったのですね 教授： 無限の世界は 数に終わりがないことを悪用して 我々の直感に反するコト、常識に反するコトを成立させているだけ と言えるのかもしれません なので、私は無限の世界を扱うことを避けています 笑 緋山： 別次元のコトで、≪人間の直感に反する≫とか ≪人間の常識に反する≫とか 聞くと 【天才だけが理解できる】みたいな 言葉のもつバーチャルな世界に 引きずり込まれてしまいます(笑) 数学や物理学がこういうので商売しちゃダメですよね 宗教じゃないのだから・・・・ どんなにすごい話かと思ったら 一休さんのとんち話「この橋渡るべからず」 なんかとそんなに変わりません ちなみに、とんち話も、常識に反するコトを言うことだけど(笑) 陽天さんは ≪無限大？ そんなものは数学屋が勝手に考えた概念やで≫ ≪無限大と０は、数学において大きな問題や つまり、ここらが自然科学としての数学の限界と言える≫ ≪しかし、わしら工学屋だけはごまかされん ごまかしたら、モノが動かんし、モノが壊れる≫ ≪数学屋は数にしか興味がない それはそれでええ。数学は数を扱う学問やからな しかし現代物理学ちゅうんは そうした現代数学を悪用してできとることを みなに早よ知らせんとあかんな≫ と言っています 教授も【 「実際にあるのか？」という質問は 数学では愚問で、モデルとして成立する(矛盾しない) ならば存在すると考えるのが数学です 数学はあくまで数学の中という 閉じた世界で、理論を組み立てているので 物理とか、他のところで使えるかはどうでもいい話なのです 】 と述べています また、ヒルベルト自身 【 数学は決められたルール (公理と推論法則)に従って行われるゲームであり ルールを取り替えることによってできる異なるゲームは それぞれ同等である 】 と言っています (ウィキペディア「形式主義」) つまり、大学から勉強する数学は あるルールのもとになされるゲームにすぎす ゲームに真理も虚偽もないのと一緒で 現代数学の数式が、現実世界の真理を表わしている わけではないということです 現代数学の父がそう言っているのです！！ 教授： ∞ + 1 = ∞ この式も厳密ではないのです 重要な点なので繰り返しますが 【∞は数ではない】からです この式を認めるためには ∞という数を定義する必要があります でも、そんな定義はありません 緋山： 増やす・減らす という概念が すでに、無限という概念に、反するのかもしれませんね なぜなら、無限から、プラスするマイナスする というのは、≪無限から≫を ≪無限の数から≫ (= ある数から) というように 有限化してしまっているからです ③ 無限の乱用 緋山： 以前、フラクタルについて教授に聞いたとき 「無限」について触れましたね フラクタルとは 図形全体(自分)の中に 相似な形(自分と同じ小さな形)を含む図形です  左の図形は、コッホ雪片と呼ばれています コッホ曲線というフラクタルによってできています フラクタルの中でもとくに有名なもの１つに 「コッホ曲線」があります コッホ曲線は、スウェーデンの数学者 ヘルゲ・フォン・コッホ(1870～1924)が考案したフラクタルです  線を三等分し、その真ん中の線を１辺とする 正三角形を作っていくことを繰り返します この操作を無限に繰り返すとコッホ曲線になるとされます 無限に繰り返すと、もはや直線でできた図形としては複雑すぎる ということで曲線というそうです 自然界における コッホ曲線の近似として「海岸線」があげられています フラクタルの発見は、イギリスの気象学者 ルイス・フライ・リチャードソン(1881～1953)だといいます 彼は、国境を接するスペインとポルトガルが 国境線について、それぞれ別の値を主張していたことから 国境線の長さは、用いる地図の縮尺によって 変化することを発見したといいます これが、リチャードソンの示した 「海岸線のパラドックス」です 海岸線のパラドックスとは 海岸線の長さが、フラクタル的性質をもつため １つに確定しないというものです
海岸線を測るとき、定規の長きが長いと 入り組んだ場所は測れません 正確に測るためには、短い定規を使う必要がありますが 短い定規でより正確に測ると、その分、海岸線の長さが長くなります 正確に測れば、測るほど、海岸線は長くなります 教授は、コッホ曲線の ≪操作を無限回数 繰り返すとコッホ曲線になる≫ ということについて、以下のように言っていましたね 【 教授： コッホ曲線の各線分＿＿＿を ＿∧＿ に置き換える操作を 無限回数行うと言いいますが、そもそも無限という数はないのです 「終わりがない」ことをそう呼んでいると考えた方が近いです ですので、置き換え操作を無限回数行うと 長さが無限になると言っていますが 正しくは ≪置き換え操作をくり返し続ければ 長さも長くなり続ける≫というのが正しいです 海岸線が、コッホ曲線だとすると 与えられた長さまで測ると 後出しじゃんけんのように、新な長さが次々に つくられていくという話になりますが 海岸線は別に自力でコッホ曲線の置き換え操作を 行っているわけではないので どこかで、後出しじゃんけんができなくなります くり返しに限りが来ます 無限にはなりえないのです 要するに、海岸線は操作回数が固定されたコッホ曲線です 長さを測定する側が コッホ曲線に合わせた小さな定規を持ち込むことで 長さが確定してしまうはずです 緋山： 「無限にギザギザしている図形(フラクタル)は 自己相似なので どんなに細かく分解して無限に ギザギザしている」 という話を 有名な数学・物理の教育系ユーチューバーのヨビノリさんが 動画でしていますが これについてはどうですか？ 教授： 実際に無限にギザギザしている図形なんて存在しませんよ まあ、仮に電子や陽子とか もっと細かい物理の最小単位のレベルで フラクタルになっていると仮定してもいいですけど 結局そこで終わりって話です フラクタルの長さについては 「操作を無限回 行う」というところに 怪しさが隠されていると思えます 無限の乱用があるように思えます 】 緋山： そこで、あらためてお聞きします 【 海岸線は別に自力でコッホ曲線の置き換え操作を 行っているわけではないので どこかで、後出しじゃんけんができなくなります くり返しに限りが来ます 無限にはなりえないのです 】というのは 置き換え操作を行っている人間が有限の存在だから という意味ですか？ 教授： わたしが、置き換えを無限に行えないと言ったのは 物理的な限界のためです 海岸線は、(一部の)人間が、勝手に フラクタル(コッホ曲線)だ と言っているだけですが コッホ曲線も同じです 置き換え規則を繰り返すと 線分が、限りなく小さく(短く)なります こんな風に考えてみて下さい 野球ボールを並べて 1cm単位の折れ線を作ることができますか？ もちろん答えは NO ですよね 置き換え操作を繰り返すと 線分の長さが 1cmどころか 1mm, 1μm, ... といくらでも小さくなっていきます それを野球ボールで構成することは不可能です 野球ボールを原子に置き換えても一緒です ならば、表せる線分の長さにどこかで限界がやってくるのです 価値論 【 数学・物理学 編 】 フラクタルの理論について ① ② おまけ 海岸線のパラドックス 海岸線のパラドックスについておさらいします 【 ある島の海岸線を、長さ１kmの定規で測ったところ 定規が５本分の長さでした なので、海岸線の長さは １km×５＝５km です ただ、定規が長かったので 海岸が入り組んでいる場所は測れませんでした もう少し正確に測るために、0.5km の定規を使ってみました すると、海岸線の長さは定規16本分 0.5km×16＝８ｋｍ となりました １kmの定規で測ったときより、海岸線が３km 長くなりました さらに定規の長さを短くして測ると、海岸線はさらに長くなりました 地図を拡大していくと、見えていなかった細かいデコボコが見えてきます それをもっと短い定規で、正確に測ると、さらに海岸線は長くなりました いくらでも拡大していくことができるので 海岸線は、果てしなく伸びていき、長さは、無限大になってしまう 】 教授の解答を記します 単なるパラドックスの話なので 真面目に考えない方がいいですよ と言いたいところですが、笑 スッキリしないと思うので 何がおかしいのかをお話ししておきます 海岸線を長い定規で測るとします 定規は直線ですが、海岸線は曲線です ですので、曲線を無視して定規で測ると 実際の距離より短くなります では、定規の長さを短くします 先ほどよりは小回りが利くので 測定結果は実際の曲線に長さに近づき 長くなります さらに定規の長さを短くします さらに小回りが利くので さらに測定結果は先ほどより長くなります 海岸線はどこまで細かく見ても曲線なので 定規の長さを短くし続ければ 測定結果は長くなり続ける 測定結果が長くなり続けるということは 海岸線の長さは無限ではないか？ と言うのが「海岸線のパラドックス」の主張です このパラドックスは 測れないから無限大と言っているわけではなくて 定規の長さを短くすれば測定結果が長くなるから 定規の長さを(０にならないようにして) 永遠に短くし続ければ 測定結果も永遠に長くなり続ける＝長さは無限である という主張です このパラドックスの誤りは 測定結果も永遠に長くなり続ける＝長さは無限である にあります ＃ そもそも、定規の長さを永遠に短くし続けなければならない 海岸が存在するのかという話もありますが 笑 先ほどの例ですが 最初は５km、次は３km 長くなっわけですが 定規を短くするのが n 回目のときに 長さが前回測定結果より ５× 0.6^n だけ増えるとします 0.6^n とは 0.6 の n 乗 すなわち、0.6 を n 回かけた数です 要するに、最初は ５km で 次に ５×0.6＝３km 長くなって その次は ３×0.6＝1.8km 長くなって さらに 1.8×0.6＝1.08km 長くなり 1.08×0.6＝0.648km 長くなり… と永遠に繰り返したとします これを繰り返すと 確かに永遠に測定結果は長くなり続けるのですが 無限に続けても ５÷(1－0.6)＝12.5km にしかならないことが 計算できます 要するに ５×(1＋0.6＋0.6^2＋0.6^3＋ …)＝12.5 となります つまり、無限に足し続けたからといって 足した結果が無限になるとは限らないのです それが今回のパラドックスの正体です ＃ アキレスと亀のパラドックス と本質的に変わらないのです 【 5÷(1－0.6)＝12.5km について 最初の長さが 5km 次に、長さが 5×0.6km＝3km 増える 次に、5＋3＝8km から 長さが 5×0.6^2＝1.8km 増える 次に、8＋1.8＝9.8km から 長さが 5×0.6^3＝1.08km 増える・・・・ とします 5km から (n-1)回まで長さが増えたときの合計の長さをＬｎとします Ln＝5＋(5×0.6)＋(5×0.6^2 )＋ … ＋(5×0.6^{n-1}) これは、初項 ａ＝5、 公比 r＝0.6 の等比数列の和になっています この式の和は簡単に求められ、公式にもなっていますが ちゃんと求め方を書いておきます Lnを 0.6倍すると 0.6×Ln＝(5×0.6)＋(5×0.6^2)＋ … ＋ (5×0.6^{n-1})＋(5×0.6^n) となります 0.6^n とは 0.6 の n 乗 すなわち、0.6 を n 回かけた数です 5を0.6倍すると、(5×0.6) (5×0.6)を0.6倍すると、(5×0.6^2) (5×0.6^{n-1})を0.6倍すると、(5×0.6^n) となります Lnから 0.6×Lnを引くと Ln＝ 5＋(5×0.6)＋(5×0.6^2)＋ … ＋(5×0.6^{n-1}) 0.6×Ln＝(5×0.6)＋(5×0.6^2)＋ … ＋(5×0.6^{n-1})＋(5×0.6^n) 共通の部分がなくなって Ln－(0.6×Ln)は、5－(5×0.6^n) となります つまり、Ln－(0.6×Ln)＝5－(5×0.6^n) です 左辺をLn でくくると (1－0.6)×Ln になります 右辺を5 でくくると 5×(1－0.6^n) になるので (1－0.6)×Ln＝5×(1－0.6^n) さらに、Ln＝5×(1－0.6^n)÷(1－0.6) となります これでn を大きくしていくと 0.6^n は、0に近づきます 0.6×0.6＝0.36 0.36×0.6＝0.216 0.216×0.6＝ ・・・・ これを繰り返すと 0 に近づくのがわかると思います n が無限のとき、0.6^n＝０ なので n が無限ならば Ln＝5×(1－0.6^n)÷(1－0.6) は Ln＝5×(1－0)÷(1－0.6) Ln＝5×(1)÷×(0.4)＝25/2＝12.5 になるわけです 】 スミスさんの子供(２人の子供の性別問題)  1/3×3 = 1 のはずなのに 0.3333…×3 = 0.9999… のパラドックス (ひとつ戻る) |
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